Courbes hyperelliptiques à multiplications réelles et une construction de Shih

Henri DARMON et Jean-François MESTRE

H.D.: Département de Mathématiques, Université McGill, 805 Rue Sherbrooke Ouest, Montréal H3A-2K6, Canada; E-mail: darmon@math.mcgill.ca

J-F.M.: Département de Mathématiques Université de Paris VII (Denis Diderot), 75221 Paris, France. E-mail: mestre@math.jussieu.fr

Résumé.- Soient r et p deux nombres premiers distincts, soit K = ℚ(cos \frac{2π}{r}), et soit 𝔽 le corps résiduel de K en une place au-dessus de p. Lorsque l’image de (2−2 cos \frac{2π}{r}) dans 𝔽 n’est pas un carré, nous donnons une construction géométrique d’une extension réguliere de K(t) de groupe de Galois PSL_{2}(𝔽). Cette extension correspond à un revêtement de ℙ_{/K}^{1} de “signature (r, p, p)” au sens de [3], sec. 6.3, et son existence est prédite par le critère de rigidité de Belyi, Fried, Thompson et Matzat. Sa construction s’obtient en tordant la representation galoisienne associée aux points d’ordre p d’une famille de variétés abéliennes à multiplications réelles par K découverte par Tautz, Top et Verberkmoes [6]. Ces variétés abéliennes sont définies sur un corps quadratique, et sont isogènes à leur conjugué galoisien. Notre construction généralise une méthode de Shih [4,5], que l’on retrouve quand r = 2 et r = 3.

Hyperelliptic curves with real multiplications and a construction of Shih.

Abstract.- Let r and p be distinct prime numbers, let K = ℚ(cos \frac{2π}{r}), and let 𝔽 be the residue field of K at a place above p. When the image of (2 − 2 cos \frac{2π}{r}) in 𝔽 is not a square, we describe a geometric construction of a regular extension of K(t) with Galois group PSL_{2}(𝔽). This extension corresponds to a covering of ℙ_{/K}^{1} of “signature (r, p, p)” in the sense of [3], sec. 6.3, and its existence is predicted by the rigidity criterion of Belyi, Fried, Thompson and Matzat. Its construction is obtained by twisting the mod p galois representation attached to a family of abelian varieties with real multiplications by K discovered by Tautz, Top and Verberkmoes [6]. These abelian varieties are defined in general over a quadratic field, and are isogenous to their galois conjugate. Our construction generalises a method of Shih [4,5], which one recovers when r = 2 and r = 3.

1 Rigidité dans PSL_{2}(𝔽)

Soit r un nombre premier, et soit C un corps algébriquement clos de caractéristique zéro. On choisit une racine primitive r-ème (resp. 4-ème) de l’unité ζ dans C si r est impair (resp. r = 2), et on pose ω = ζ + ζ^{−1}. Soit K = ℚ(ω) le sous-corps réel du corps cyclotomique ℚ(ζ), soit d son degré sur ℚ, et soit O son anneau des entiers.

On se donne un corps 𝔽 de caractéristique p ≠ r muni d’un homomorphisme surjectif φ : O ⟶ 𝔽. Le corps 𝔽 est donc une extension finie de 𝔽_{p} de cardinalité p^{f}, où f est l’ordre de p dans (ℤ/rℤ)^{×}/⟨±1⟩. Posons G = PSL_{2}(𝔽). C’est un groupe fini simple lorsque p^{f} > 3, ce que l’on supposera désormais.

Le groupe G possède d classes de conjugaison d’éléments d’ordre r. (En effet, une matrice d’ordre r dans SL_{2}(𝔽) est déterminée à conjugaison près par sa trace, qui est égale à φ(ω^{σ}) pour un choix de σ ∈ Gal(K/ℚ).) Ces classes sont rationnelles sur le corps K au sens de [3], sec. 7.1., et sont permutées transitivement par Gal(K/ℚ). Empruntant les notations de l’atlas des groupes finis [1], appelons rA la classe de conjugaison d’éléments d’ordre r dans G représentés par une matrice de trace ω̄ := φ(ω).

Si p = 2, le groupe G possède une seule classe de conjugaison d’éléments d’ordre p, contenant les matrices unipotentes. Si p est impair, alors G possède deux classes de conjugaisons d’éléments d’ordre p. La première, appelée

pA, contient l’élément représenté par la matrice unipotente ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) et la

seconde, appelée pB, contient l’élément représenté par une matrice de la

forme ( \begin{matrix}1 & γ \\ 0 & 1 \end{matrix} ) où γ appartient à 𝔽^{×} − 𝔽^{×2} (cf. [3], sec. 7.4.3). Lorsque

f est pair, ces deux classes sont rationnelles sur ℚ. Lorsque f est impair, elles sont rationnelles sur le corps ℚ(\sqrt{p^{∗}}) où p^{∗} := (−1)^{\frac{p−1}{2}} p, et elles sont conjuguées l’une de l’autre sous l’action de Gal(ℚ(\sqrt{p^{∗}})/ℚ).

Si (𝔠_{1}, 𝔠_{2}, 𝔠_{3}) est un triplet de classes de conjugaison dans G, on désigne par Σ(𝔠_{1}, 𝔠_{2}, 𝔠_{3}) l’ensemble des triplets (x, y, z) ∈ 𝔠_{1} × 𝔠_{2} × 𝔠_{3} tels que x, y, z engendrent G et satisfont la relation xyz = 1. Le groupe G opère librement sur Σ(𝔠_{1}, 𝔠_{2}, 𝔠_{3}) par conjugaison. On dit que le triplet (𝔠_{1}, 𝔠_{2}, 𝔠_{3}) est rigide si l’action de G sur Σ(𝔠_{1}, 𝔠_{2}, 𝔠_{3}) est transitive.

Proposition 1.1 Si p = 2 ou si l’élément 2 − ω̄ est un carré dans 𝔽, alors Σ(rA, pA, pB) = ∅. Autrement, le triplet (rA, pA, pB) est rigide.

Démonstration: On procède exactement comme dans [3], prop. 7.4.3 et 7.4.4 où sont traités les cas r = 2 et r = 3. Supposons désormais que r est impair. Alors les solutions de l’équation xyz = 1 avec x ∈ rA, y ∈ pA, et z d’ordre p sont conjugués à l’image dans PSL_{2}(𝔽) d’un des deux triplets suivants:

(( \begin{matrix}1 & −1 \\ 2 + ω̄ & −1 − ω̄ \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 0 \\ −(2 + ω̄) & 1 \end{matrix} )) ,  (1)
(( \begin{matrix}1 & −1 \\ 2 − ω̄ & −1 + ω̄ \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 0 \\ −(2 − ω̄) & 1 \end{matrix} )) .  (2)

Si p = 2, les éléments de chaque triplet engendrent un sous-groupe diédral d’ordre 2r, et Σ(rA, 2A, 2A) = ∅. Si p = 3 et r = 5, les éléments du triplet (1) engendrent un sous-groupe exceptionnel de PSL_{2}(𝔽_{9}) ≃ A_{6} isomorphe à A_{5}, et Σ(5A, 3A, 3A) = ∅. Hormis ces exceptions, le sous-groupe de G engendré par les éléments de chaque triplet ne peut être contenu dans aucun des sousgroupes maximaux de G, dont on connaît la liste complète. Le triplet (1) appartient donc à Σ(rA, pA, pA) puisque 2 + ω est un carré dans O. Quant au triplet (2), il appartient à Σ(rA, pA, pB) si et seulement si 2 − ω̄ n’est pas un carré dans 𝔽.

On appelle G-revêtement de ℙ_{1} (sur C) un revêtement galoisien connexe X ⟶ ℙ_{1} défini sur C et muni d’une identification de G avec Gal(X/ℙ_{1}). Un tel revêtement est dit de type (r, p, p) s’il est non-ramifié en dehors de 3 points P_{1}, P_{2}, P_{3} et si les indices de ramification au-dessus de ces trois points sont égaux à r, p, et p respectivement. Etant donné un tel revêtement, appelons I_{1}, I_{2}, et I_{3} le sous-groupe d’inertie en un point au-dessus de P_{1}, P_{2}, et P_{3} respectivement. Le choix de ζ détermine un générateur σ_{1} de I_{1}, et le choix d’une racine primitive p-ème de l’unité détermine des générateurs σ_{2} et σ_{3} de I_{2} et I_{3}. L’élément σ_{i} ∈ G dépend du choix d’un point de X au-dessus de P_{i}, mais il est bien défini à conjugaison près. On dit que le G-revêtement X est de type (rA, pA, pB) si σ_{1}, σ_{2}, et σ_{3} appartiennent aux classes rA, pA, et pB respectivement. On peut alors s’arranger pour que le triplet (σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}) appartienne à Σ(rA, pA, pB). (Cf. [3], th. 6.3.2.) La proposition 1.1 implique donc qu’un revêtement de type (rA, pA, pB) existe si et seulement si p ≠ 2 et 2 − ω̄ n’est pas un carré dans 𝔽, et qu’il est alors unique, à un isomorphisme unique près, une fois P_{1}, P_{2} et P_{3} fixés.

On dit qu’un G-revêtement est défini sur un sous-corps de C si le revêtement X ⟶ ℙ_{1} et les automorphismes dans Gal(X/ℙ_{1}) sont définis sur ce corps. Grâce au critère de rigidité de Matzat (cf. [3], sec. 8.1 et 8.2) on a la proposition suivante:

Proposition 1.2 Si p ≠ 2 et si 2 − ω̄ n’est pas un carré dans 𝔽, alors il existe un G-revêtement de ℙ_{1} de type (rA, pA, pB) défini sur K. On peut s’arranger pour que ce revêtement soit ramifié en ∞ et ±1 si f est pair, et en ∞ et ±\sqrt{p^{∗}} si f est impair. Le G-revêtement ainsi obtenu est alors unique à un isomorphisme unique près.

On se propose de donner une construction géométrique du G-revêtement dont l’existence est prédite par la proposition 1.2. Cette construction se fait en considérant l’action de Galois sur les points d’ordre p des Jacobiennes d’une famille de courbes hyperelliptiques de genre d à multiplications réelles par K. Lorsque f est impair, ces jacobiennes sont définies sur ℚ(\sqrt{p^{∗}}) et sont (2 − ω)-isogènes à leur conjugué galoisien, ce qui “explique” l’hypothèse qui apparaît dans les propositions 1.1 et 1.2. Notons que cette construction généralise un procédé de Shih, que l’on retrouve d’ailleurs quand r = 2 et r = 3. (Cf. [4], [5], ou [3], ch. 5.)

2 Courbes hyperelliptiques

On supposera désormais que r est impair et que p ≠ 2, r. Soit g(x) le polynôme caractéristique de −ω, et soit f(x) une primitive du polynôme (−1)^{d}rg(x)g(−x). Par exemple, on choisira

f(x) = xg(x^{2} − 2) = g(−x)^{2}(x − 2) + 2 = g(x)^{2}(x + 2) − 2.

Soient C_{1} et C_{2} les courbes hyperelliptiques de genre d sur ℚ(t) considérées dans [6], données par les équations

C_{1}(t) : y^{2} = f(x) − 2t,  (3)
C_{2}(t) : y^{2} = (x + 2)(f(x) − 2t),  (4)

et soient J_{1} et J_{2} (ou encore J_{1}(t) et J_{2}(t)) leurs jacobiennes sur ℚ(t).

Proposition 2.1 Les variétés abéliennes J_{1} et J_{2} admettent des multiplications réelles par K. Plus précisément, on a End_{C(t)}(J_{i}) ≃ O. Les endomorphismes de J_{i} sont définis sur K, et l’action de Gal(K/ℚ) sur End(J_{i}) est compatible à son identification avec O.

Démonstration: Cette proposition est démontrée par Tautz, Top et Verberkmoes, cf. le théorème 1 et la remarque à la fin de la section 2 de [6]. On rappelle ici les grandes lignes de leur démonstration. On considère les courbes

D_{1} : y^{2} = x^{r} + 1/x^{r} − 2t, D_{2} : y^{2} = x^{2r} − 2tx^{r} + 1.

Ce sont des courbes munies d’un automorphisme [ζ] d’ordre r qui à x associe ζx, ainsi que d’une involution τ_{i} définie par

τ_{1}(x, y) = (\frac{1}{x}, y), τ_{2}(x, y) = (\frac{1}{x}, \frac{y}{x^{r}}).

Ces automorphismes satisfont la relation de commutation τ_{i}[ζ] = [ζ^{−1}]τ_{i}, et engendrent donc un groupe dihédral d’ordre 2r. Les morphismes de degré deux

π_{1}(x, y) = (x + \frac{1}{x}, y), π_{2}(x, y) = (x + \frac{1}{x}, (y + \frac{y}{x^{r}})/g(x + \frac{1}{x}))

de D_{i}(t) vers C_{i}(t) satisfont π_{i}τ_{i} = π_{i}, et identifient donc C_{i} à D_{i}/τ_{i}. L’application D_{i} ⟶ C_{i} × C_{i} donnée par

P ↦ (π_{i}P, π_{i}[ζ]P)

définit une correspondance η_{ζ} de C_{i} vers C_{i} décrite par la formule

η_{ζ}(Q) = (π_{i}[ζ]P) + (π_{i}[ζ^{−1}]P),  (5)

où P ∈ D_{i} est tel que π_{i}(P) = Q. On remarque que η_{ζ}^{σ} = η_{ζ^{σ}} pour tout σ ∈ Gal(ℚ̄/ℚ), et que η_{ζ} = η_{ζ^{−1}}. Par conséquent η_{ζ} est défini sur K. La formule (5) montre aussi que l’application de O vers End(J_{i}) qui à ω associe η_{ζ} établit une inclusion de O dans End(J_{i}).

Proposition 2.2 1. Les courbes C_{1} et C_{2} ont bonne réduction en dehors de t = ∞ et t = ±1.

2. Ce sont des courbes de Mumford en t = ±1, c’est-à-dire que leurs fibres spéciales sur K[[t−1]] et K[[t+1]] sont des unions de droites projectives qui se coupent transversalement en des points doubles ordinaires.

3. Elles ont potentiellement bonne réduction en t = ∞. Plus précisément,

• la courbe C_{1} possède une tordue par l’involution hyperelliptique qui acquiert bonne réduction sur C((1/t^{\frac{1}{r}}));

• la courbe C_{2} acquiert bonne réduction sur C((1/t^{\frac{1}{r}})).

Cela se vérifie par un calcul direct.

On remarque que la fonction (x, y) ↦ (−x, y) est un isomorphisme entre C_{1}(t) et C_{1}(−t). Par contre C_{2}(t) n’est pas isomorphe à C_{2}(−t). (Cela peut se voir lorsque r = 5 en calculant les invariants d’Igusa associés aux courbes C_{2}(t) et C_{2}(−t) qui sont de genre 2. Plus généralement, on observe que les fibres spéciales d’un modèle minimal de C_{2}(t) en t = 1 et t = −1 ne sont pas isomorphes.) Par contre, on a:

Proposition 2.3 Il existe une isogénie η : J_{2}(t) ⟶ J_{2}(−t) qui satisfait

η(−t)η(t) = ω − 2.

En particulier, η est de degré r: son noyau est un sous-groupe cyclique des points de (2 − ω)-torsion de J_{2}.

Démonstration: La fonction α : D_{2} ⟶ C_{2}(−t) définie par

α(x, y) = (−x − \frac{1}{x}, (y − \frac{y}{x^{r}})/g(−x − \frac{1}{x}))

identifie C_{2}(−t) au quotient D_{2}(t)/wτ_{2}, où w est l’involution hyperelliptique de D_{2} (qui commute avec τ_{2}). Soit s un entier qui satisfait 2s ≡ 1 (mod r). La correspondance D_{2}(t) ⟶ C_{2}(t) × C_{2}(−t) de C_{2}(t) vers C_{2}(−t) définie par

P ↦ (π_{2}P, α[ζ^{s}]P)

induit un morphisme η de J_{2}(t) vers J_{2}(−t), et on vérifie que

η(−t)η(t) = ω − 2.

3 Représentations galoisiennes et revêtements

Après le choix d’une identification de O avec End(J_{i}), le module H := H_{1}(J_{i}, ℚ) devient un K-espace vectoriel de dimension deux. Par la proposition 2.2, la monodromie en t = ∞ correspondant à −ζ détermine une transformation d’ordre 2r (resp. r) de Aut_{K}(H) quand i = 1 (resp. i = 2). On fixe l’identification de O avec End(J_{i}) de sorte à ce que cette transformation soit de trace −ω (resp. ω).

Soit V_{i} (i = 1, 2) le module (J_{i})_{p} ⊗_{φ} 𝔽. C’est un 𝔽-espace vectoriel de dimension 2, et l’action de Gal(\overline{C(t)}/C(t)) sur V_{i} détermine une représentation galoisienne

ρ_{i} : Gal(\overline{C(t)}/C(t)) ⟶ SL_{2}(𝔽).  (6)

Soit ρ̄_{i} la représentation projective déduite de ρ_{i}, et soit X_{i} le revêtement qui lui est associé.

Proposition 3.1 Les courbes X_{1} et X_{2} sont des revêtements de type (r, p, p) en (P_{1}, P_{2}, P_{3}) = (∞, 1, −1). Plus précisément, après un choix convenable de racine p-ème de l’unité, on a:

1. La courbe X_{1} est un G-revêtement de type (rA, pA, pA) si (p, r) ≠ (3, 5). (Son groupe de Galois est isomorphe à A_{5} ⊂ PSL_{2}(𝔽_{9}) si (p, r) = (3, 5).)

2. La courbe X_{2} est un G-revêtement de type (rA, pA, pA) si 2 − ω̄ est un carré dans 𝔽, et de type (rA, pA, pB) autrement.

Démonstration: Comme la courbe C_{i} a bonne réduction en dehors de t = ∞ et ±1, le revêtement X_{i} est non-ramifié en dehors de ces trois points. La proposition 2.2, 3, implique que ρ̄_{i} envoie le groupe d’inertie en t = ∞ sur un sous-groupe de G d’ordre r, et le revêtement X_{i} est donc ramifié d’ordre r au-dessus de t = ∞. La proposition 2.2, 2, implique par la théorie de Mumford que la Jacobienne J_{i} a réduction purement multiplicative en t = ±1. La monodromie de X_{i} autour de ces points est donc unipotente, ou triviale. Elle ne peut être triviale en t = 1 ou t = −1, car l’hypothèse p ≠ r forcerait X_{i} a être ramifié nulle part, alors qu’on sait qu’il est ramifié en t = ∞. Par conséquent, X_{i} est de type (r, p, p) en (∞, 1, −1). La démonstration de la proposition 1.1 implique alors que l’homomorphisme ρ̄_{i} est surjectif, du moins lorsque (p, r) ≠ (3, 5). Il munit donc X_{i} d’une structure de Grevêtement. Soit σ_{∞} ∈ SL_{2}(𝔽) l’image par ρ_{i} du générateur de l’inertie en t = ∞ correspondant à l’élément −ζ. Le choix de l’identification de O avec End(J_{i}) fixé plus haut implique que σ_{∞} a pour trace −ω̄ (resp. ω̄) quand i = 1 (resp. i = 2). Soit ζ_{p} une racine p-ème de l’unité, et soit σ_{1} ∈ SL_{2}(𝔽) l’image par ρ_{i} du générateur de l’inertie en t = 1 correspondant à ζ_{p}. On choisit ζ_{p} de sorte à ce que σ_{1} appartienne à la classe de conjugaison pA. Finalement soit σ_{−1} l’image du générateur de l’inertie en t = −1 (correspondant à ζ_{p}). Les éléments σ_{∞}, σ_{1} et σ_{−1} ne sont définis qu’à conjugaison près; on s’arrange pour qu’ils satisfassent la relation σ_{∞}σ_{1}σ_{−1} = 1. Par le même raisonnement que dans la démonstration de la proposition 1.1, on voit que le triplet (σ_{∞}, σ_{1}, σ_{−1}) est conjugué au triplet (1) (resp. (2)) quand i = 1 (resp. i = 2), ce qui achève la démonstration de la proposition 3.1.

Remarques:

1. La démonstration de la proposition 3.1 montre que les revêtements X_{1} et X_{2} fournissent une liste complète des G-revêtements de type (r, p, p).

2. En particulier, pour i = 1, 2 les représentation galoisiennes ρ_{i}(t) et ρ_{i}(−t) sont isomorphes. Il s’ensuit par la conjecture d’isogénie sur le corps de fonctions C(t) que J_{i}(t) est isogène à J_{i}(−t) sur C(t). Comme le revêtement ρ̄_{2}(t) est de type (rA, pA, pB) pour une infinité de p, on sait que J_{2}(t) n’est pas isomorphe à J_{2}(−t) sur C(t). De plus, la restriction de ρ_{2}(t) à Gal(\overline{C(t)}/C(t)) est irréductible pour tout p ≠ r. Par conséquent J_{2}(t) est lié à J_{2}(−t) par une isogénie de degré une puissance de r. Ces considérations auraient permis d’anticiper ce qui est démontré dans la prop. 2.3 par un calcul direct.

4 La construction de Shih

Puisque J_{i} est défini sur ℚ et que l’action de O sur J_{i} est définie sur K, la représentation ρ_{i} de l’équation (6) se prolonge en une représentation galoisienne (que l’on dénotera par le même symbole, par abus de notation)

ρ_{i} : Gal(\overline{K(t)}/K(t)) ⟶ GL_{2}(𝔽).

Comme ρ_{i} provient des points de p-division d’une variété abélienne, on a de plus

det(ρ_{i}) = χ_{p},

où χ_{p} : Gal(K̄/K) ⟶ 𝔽_{p}^{×} est le caractère cyclotomique donnant l’action de Galois sur les racines p-èmes de l’unité.

Soit

ρ̄_{i} : Gal(\overline{K(t)}/K(t)) ⟶ PGL_{2}(𝔽)

la représentation projective déduite de ρ_{i}, et soit L_{i} l’extension de K(t) fixée par le noyau de ρ̄_{i}.

Si f est pair, alors 𝔽_{p}^{×} ⊂ (𝔽^{×})^{2}, et l’image de ρ̄_{i} est donc contenue dans PSL_{2}(𝔽); les extensions L_{1} et L_{2} sont alors des extensions régulières de K(t) de groupe de Galois G. Les revêtements X_{1} et X_{2} correspondant à ces extensions sont les deux G-revêtements distincts de type (r, p, p) définis sur K et ramifiés en ∞ et ±1. En particulier, lorsque 2 − ω̄ n’est pas un carré, le revêtement X_{2} est celui dont l’existence est prédite par la proposition 1.2.

Lorsque f est impair, l’image de ρ̄_{i} n’est plus contenue dans PSL_{2}(𝔽). On a alors L_{i} ∩ K̄ = K(\sqrt{p^{∗}}), et l’extension L_{i} n’est pas régulière sur K(t).

Pour traiter ce cas, on considère la variété abélienne J := J_{2}(t/\sqrt{p^{∗}}). C’est une variété définie sur K(t, \sqrt{p^{∗}}) qui est isogène à son conjugué galoisien J′ := J(−t/\sqrt{p^{∗}}) sur K(t). En effet, par la proposition 2.3, η := η(t/\sqrt{p^{∗}}) est une isogénie de degré r entre J et J′. On pose η′ = η(−t/\sqrt{p^{∗}}). L’action de Gal(K(t, \sqrt{p^{∗}})/K(t)) interchange J et J′, ainsi que η et η′.

On pose comme avant V := J_{p} ⊗_{φ} 𝔽, et V′ := J′_{p} ⊗_{φ} 𝔽. Parce que p est différent de r, l’isogénie η′ induit un isomorphisme

α : V′ ⟶ V

de 𝔽-espaces vectoriels.

L’action de Gal(\overline{K(t)}/K(t, \sqrt{p^{∗}})) sur V donne lieu à une représentation galoisienne

ρ : Gal(\overline{K(t)}/K(t, \sqrt{p^{∗}})) ⟶ Aut_{𝔽}(V).

On étend ρ à une fonction sur Gal(\overline{K(t)}/K(t)) en posant

ρ̃(σ) = ασ, quand σ(\sqrt{p^{∗}}) = −\sqrt{p^{∗}}.

En se servant de la proposition 2.3, on vérifie alors que

ρ̃(σ_{1})ρ̃(σ_{2}) = (ω̄ − 2)ρ̃(σ_{1}σ_{2}), si σ_{1}(\sqrt{p^{∗}}) = σ_{2}(\sqrt{p^{∗}}) = −\sqrt{p^{∗}};
ρ̃(σ_{1})ρ̃(σ_{2}) = ρ̃(σ_{1}σ_{2}), autrement.

Ainsi, la fonction ρ̃ n’est pas un homomorphisme, mais sa projectivisée ρ̄ l’est. Après le choix d’une base de V sur 𝔽, on obtient ainsi un homomorphisme

ρ̄: Gal(\overline{K(t)}/K(t)) ⟶ PGL_{2}(𝔽).

Soit

det(ρ̄) : Gal(\overline{K(t)}/K(t)) ⟶ 𝔽^{×}/(𝔽^{×})^{2} = ±1

le caractère d’ordre 2 obtenu à partir du déterminant de ρ̄. La proposition suivante se démontre comme la proposition 5.2.1 de [3], sec. 5.2.

Proposition 4.1 Soit ϵ_{p} : Gal(\overline{K(t)}/K(t)) ⟶ ±1 le caractère quadratique associé à l’extension K(t, \sqrt{p^{∗}}). Alors on a

det(ρ̄) = ϵ_{p}, si 2 − ω̄ est un carré dans 𝔽.
= 1, si 2 − ω̄ n’est pas un carré dans 𝔽.

Soit L l’extension de K(t) fixée par le noyau de ρ̄. La proposition 4.1 montre que L est une G-extension régulière de K(t) lorsque 2 − ω̄ n’est pas un carré. Cette extension est ramifiée en ∞ et ±\sqrt{p^{∗}}; c’est donc le corps de fonctions du revêtement rigide de type (rA, pA, pB) de la proposition 1.2.

Remerciements: Le premier auteur remercie l’Université Paris VI et l’Institut Henri Poincaré pour leur hospitalité pendant l’élaboration de cet article, ainsi que le CRSNG, le FCAR et la fondation Sloan pour leur soutien financier.

Références bibliographiques

[1] Conway J.H., Curtis R.T., Norton S.P., Parker R.A., et Wilson R.A., Atlas of finite groups: maximal subgroups and ordinary characters for simple groups. Clarendon Press, New York. 1985.

[2] Mestre, J.F., Familles de courbes hyperelliptiques à multiplications réelles, Arithmetic algebraic geometry (Texel, 1989), 193–208, Progr. Math., 89, Birkhäuser Boston, Boston, MA 1991.

[3] Serre, J.-P., Topics in Galois Theory, Jones and Bartlett, Boston, 1992.

[4] Shih, K-y., On the construction of Galois extensions of function fields and number fields, Math. Ann. 207, 1974, 99–120.

[5] Shih, K-y., p-division points on certain elliptic curves, Comp. Math. 36, 1978, 113–129.

[6] Tautz, W., Top, J., Verberkmoes, A., Explicit hyperelliptic curves with real multiplication and permutation polynomials. Canad. J. Math. 43, no. 5, 1991, 1055–1064.